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TRIGONOMETRÍA

funciones trigonométricas

VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

funciones trigonométricas INVERSAS

LAS LEYES DE SENOS Y CÓSENOS

LA LEY DE SENOS

LA LEY DE COSENOS

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

 

 

 

 

°Agregando Historia!!!                                            

 

El origen de trigonometría proviene del griego. Proviene de la raíz de las palabras griegas  trigonon: triángulo y metron: medida. Esto quiere decir que la trigonometría se trata sobre la medida de los triángulos.

 

 

 

 

 

 

 

 

Se considera a Hiparco (180-125 A.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples.

 

Originalmente, la  trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría muestra el como solucionar el triángulo, como es propuesto, a encontrar los demás  elementos que hacen falta. Aquí se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].


|TRIGONOMETRIA                                          

TRIGONOMETRIA

Una unidad de medida angular se puede definir como la longitud del arco de circunferencia, como s en la figura que abajo se muestra, formado cuando los lados del ángulo central, cortan a la circunferencia.

Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s=3C,  de modo que el ángulo A es perpendicular a ángulo B, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C, de modo que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de modo que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que

1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados =  π radianes

Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ´ y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura Rad. o sin ningún símbolo. Por tanto, 61° 28´ 42,14" = 1,073 Rad. = 1,073

Se sobreentiende que el último valor es en radianes.

Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces:

s = π.r. θ /180

 

 

 

||FUNCIONES TRIGONOMETRICAS              

 

TRIGONOMETRIA

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

En la figura (arriba) , el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x ²+ y ², aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

 

Seno (sen) del ángulo θ =  sen θ = y/r
coseno (cos) del ángulo θ =  cos θ = x/r
tangente (tan) del ángulo θ =  tan θ = y/x
cotangente (cot) del ángulo θ= cot θ = x/y
secante (sec) del ángulo θ =  sec θ = r/x
cosecante (csc) del ángulo θ= csc θ = r/y

 

Como la x y la y son iguales si se añaden 2 π radianes al ángulo - es decir, si se añaden 360° - es evidente que sen (q + 2 π) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres:

 

Cot θ = 1/tg θ ; sec θ = 1/cos θ ; cosec θ = 1/sen θ

 

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.

 

Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cot q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.

 

Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.

 

Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

 

sen θ =

opuesto

 =

a

hipotenusa

c

cos θ =

adyacente

 =

b

hipotenusa

c

tan θ =

opuesto

 =

a

adyacente

b

cot θ =

adyacente

 =

b

opuesto

a

sec θ =

hipotenusa

 =

c

adyacente

b

csc θ =

hipotenusa

 =

c

opuesto

a

 

 

 

 

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c ² = 2.a ² o que c = a ². Por tanto

Sen 45° = cos 45° = 1/√2

Tan  45° = cot 45° = 1

Sec 45° = csc 45° = √2

 

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y Y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.

 

°°VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS                   

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

 

Radián

Ángulo

Sen

cos

tan

CSC

SEC

COT

 0  \;

0^o \,

\frac{\sqrt{0}}{2}=0

\frac{\sqrt{4}}{2}=1

0 \,

\infty

1 \,

\infty

 \frac{\pi}{6}

30^o \,

\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{\sqrt{3}}

2 \,

\frac{2\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

 \frac{\pi}{4}

45^o \,

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

1 \,

\sqrt{2}

\sqrt{2}

1 \,

 \frac{\pi}{3}

60^o \,

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}

\sqrt{3}

\frac{2\sqrt{3}}{3}

2 \,

\frac{\sqrt{3}}{3}

 \frac{\pi}{2}

90^o \,

\frac{\sqrt{4}}{2}=1

\frac{\sqrt{0}}{2}=0

\infty

1 \,

\infty

0 \,

 


+Funciones Trigonometricas inversas             

 

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

 

 y= \operatorname{sen}(x) \,

Y es igual al seno de x, la función inversa:

 x = \operatorname{arcsen}(y) \,

X es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arco seno de y.

Si:

 y= \cos(x) \,

Y es igual al coseno de x, la función inversa:

 x = \arccos(y) \,

X es el arco cuyo coseno es y, de lo cual: x es el arco coseno de y.

Si:

 y= \tan(x) \,

Y es igual al tangente de x, la función inversa:

 x = \arctan(y) \,

X es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arco tangente de y.

Así como se muestra en la imagen siguiente:
 

 

Sentido de las Funciones trigonométricas

 

 

Si los ejes de coordenadas cartesianas x, y, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

 \frac{\; \overline{AC} \;}{\overline{OA}} = \frac{\; \overline{BD} \;}{\overline{OB}}

La distancia  \overline{OB} , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

 \operatorname{sen}(a)= \overline{AC} \,

 \cos(a)= \overline{OA} \,

 \tan(a)= \overline{BD} \,

Tenemos:

 \frac{\operatorname{sen}(a)}{ \cos(a)} = \frac{\tan(a)}{1}

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

 

TEOREMA DE PITAGORAS

 

El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:
c2 = a2+b2 
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo).

El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide exactamente 90°) para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo:
Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos da:
c2 = (3)2 + (4)2

Elevando al cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25

Para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:

O sea que c = 5.

Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues), hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.

Así por ejemplo, en el triángulo:

hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando:
c2- b2 = a2

Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:
a2 = c2 - b2
y ya está despejada.
Sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b (15 y 12)
a2 = (15)2 - (12)2
elevamos al cuadrado y queda:
a2 = 225 - 144 = 81
finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.Las leyes de senos y de cosenos


La clave para resolver el problema de determinar las tres medidas que hacen falta en un triángulo está en usar apropiadamente las siguientes fórmulas trigonométricas.



..La ley de senos:

En palabras, dice que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La fórmula es

= = .

 

DEMOSTRACION DE LA Ley DEL SENO



Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:

h = bsen*A, y h = asen*B


Luego bsen*A = asen*B, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:


La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo.
Si el triángulo es obtusángulo se demuestra igual:


Se demuestra igual pues h=asen(B-180º), pero sen(B-180º)=sen*B


 


...La ley de cosenos:



Es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Puede verse en tres formas distintas pero equivalentes:


a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.

En ninguna de las fórmulas está despejado un ángulo. Si se quiere encontrar el valor de un ángulo deberá despejarse de la fórmula apropiada (dependiendo de los datos que se conocen) y aplicar seno inverso o coseno inverso.

La función coseno tiene inversa en el dominio que nos interesa para triángulos, que es [0,] = [0o, 180o]. Pero la función seno no tiene inversa allí, sino en el dominio [- /2,/2] = [- 90o, 90o]. Por lo anterior, la ley de senos no es recomendable para encontrar ángulos obtusos.


En un triángulo, solamente el ángulo mayor podría ser obtuso. Entonces se recomienda que, de ser posible, no se use la ley de senos para encontrar el ángulo mayor. Los casos en los que esto es inevitable comúnmente llevan a dos soluciones: un ángulo obtuso y otro agudo.



 

 


DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO






Mira que el triángulo ha quedado dividido en dos triángulos rectángulos. Por el teorema de Pitágoras se tiene que a2=(c-p)2+h2 y h2=b2-p2 . Luego se obtiene a2=(c-p)2+h2=(c-p)2+b2-p2=c2+p2-2pc+b2-p2=c2+b2-2pc y como p = b cos A tenemos el teorema
.

 

 

 

 

 

 

Creadores:

Josue humberto enriquez garcia

andres orlando flores castellanos

diego andres guzman lopez

antulio jose Toledo morales

alumnos de 5to. bachillerato en computacion a